Axiom：43.1 百萬行 Lean 核完有限單群分類；24 天、34 處文獻偏差，獨立重編譯還沒人公開做完

Axiom Math 把二十世紀最長的數學證明，寫成一份電腦可以逐句核對的程式。AI 代理在這裡做的不是聊天，是把分散約 15,000 頁的論證，改寫成 Lean 編譯器認得出的語句。公司部落格《Formalizing the Enormous Theorem》寫：這是有限單群分類（Classification of Finite Simple Groups，CFSG）的第一份完整、由電腦檢查過的證明。專案頁列出約 4,310 萬行 Lean、205 萬個宣告、線上證明地圖 100 個里程碑、文獻庫 715 份論文與書。GitHub 倉庫 AxiomMath/CFSG 標成 sorry-free 的 Lean 4（釘在 v4.35.0-rc3），建在 Mathlib 與 TauCeti 上，只用標準公理 Classical.choice、propext、Quot.sound，不用 native_decide。授權 Apache 2.0。官方說工程師改過 Lake 建置工具、加上跨機快取之後，整份發展的 lake build 壓到 24 小時以內。

人類原證明大約 15,000 頁、超過 500 篇文章、約 100 位數學家，外號「龐大定理」（the enormous theorem）。John Thompson 因分類工作拿過 Fields Medal 與 Abel Prize。Axiom 說，工程師與數學家指揮「數十顆」AxiomProver AI 代理，用一組會換的模型，24 天寫出這份形式化。協調頻道 10 月 1 日開在 Slack，第一批代理群 10 月 2 日上線。

Lean 核的是形式陳述與形式證明有沒有對上。它不自動保證：你寫進程式的那個命題，就是數學家口中那個同名定理。

分類在講什麼

有限群可以拆成不能再拆的因子，Jordan–Hölder 定理給了這個意義。那些「原子」就是有限單群。CFSG 的結論是一份完整清單：質數階循環群、至少五個符號的交錯群、十六個定義在有限體上的 Lie 型無限族，再加上恰好 26 個零星群（sporadic groups）。有的作者把 Tits 群算成第 27 個零星群。Axiom 跟的是第一代證明；第二代多卷本到 2023 年出了十卷，預期至少十二卷，還沒寫完，所以這次沒拿來當主幹。

零星群裡最大的是 Monster，大約 8×10⁵³ 個元素。Bernd Fischer 與 Robert Griess 1973 年各自預言它存在；Griess 1980 年用維度 196,884 的代數把它做出來。Axiom 的代理群在 10 月 10 日頻道裡丟出一句：「WE PROVED MONSTER IS SIMPLE。」公司把這件事拆成三件獨立工作：構造這個群、證明它是單群、再從結構資訊把它認出來。三件都要各自的論證。

人類這邊，Walter Feit 與 Thompson 1963 年證明每個非阿貝爾有限單群都是偶數階，證明 255 頁、佔滿 Pacific Journal of Mathematics 一整期。2012 年 Georges Gonthier 帶隊用 Coq（現在叫 Rocq）形式化 Feit–Thompson，花了六年。那是「這麼深的證明能被電腦核完」的早期示範。Axiom 這次把範圍從一篇 255 頁論文，拉到整份分類。

分類為什麼難收尾，官方用了一段歷史。Daniel Gorenstein 1972 年排了十六步計畫，1983 年宣布分類完成，後來自己把它叫「龐大定理」。宣布早了：quasithin 那塊靠 Geoffrey Mason 一份沒寫完的稿，缺口開到 2004 年 Michael Aschbacher 與 Stephen Smith 出版 1,221 頁才補上，這才是現在說的第一代證明。後續還有 Koichiro Harada 與 Ronald Solomon 2008 年補 Mathieu 群 M₂₂ 的另一個洞。Aschbacher 2005 年寫過：不可能把非常長、非常複雜的論證寫出來而不出錯。第二代證明由 Gorenstein、Lyons，後來加上 Solomon 與 Inna Capdeboscq，從 1980 年代末改寫、簡化、重排結構；Gorenstein 1992 年去世，計畫繼續。Axiom 的證明地圖大量借用第二代卷冊來理解依賴，但主幹仍走第一代，因為第二代還沒寫完。

有限單群也出現在數學物理裡。官方點了 Monster 作為 Frenkel、Lepowsky、Meurman 構造的量子理論對稱群，對應 monstrous moonshine；Richard Borcherds 證了核心猜想，1998 年 Fields Medal。Edward Witten 2007 年提議這套理論可以描述一個簡化宇宙裡的重力，Monster 相關數學會編碼黑洞量子態隨能量的分布。這些不是這次形式化新證出來的物理結果，它們說明分類被誰在用：代數、數論、組合，以及偶爾出現的數學物理論文，常常用幾句話點名 CFSG，底下卻是散落幾十年的論證。

sorry-free 的意思比較窄。Lean 裡若寫 sorry，等於在那個位置放一張「此處略」的白條，編譯器會放行，證明卻沒有真正結束。倉庫 README 寫這份發展沒有 sorry，也不用 native_decide（那條路徑會把部分檢查丟給外部程式）。它仍接受古典選擇公理、命題外延、商類型的標準公理。對讀者來說：編譯通過代表「在這套公理與定義下，推導閉合」；不代表「定義等於 1983 年 Gorenstein 宣布完成時，數學家口中的那句話」。八月 Connes 剛性的教訓，就是編譯通過、語義可能跑題。Axiom 自己把人要看的那一層寫進正文：檢查最終定理和定義，確認它在講分類。

24 天怎麼排

專案不是從空白檔開始。Axiom 說用了既有 Lean 工作，加上一份從文獻組出來的內部證明地圖，切成 108 個里程碑、大約 380 個較小任務；線上地圖後來顯示 100 個里程碑。代理可以認領任務、找對應論證、開始翻成 Lean；缺前置結果就委派給其他代理。Lead 代理拆難論證、審查正在形式化的陳述；另一些代理搜既有結果或專心寫證明。人類數學家處理數學障礙，工程師讓系統繼續產。

早期計畫有洞。有些看起來好做的里程碑，底下藏了巨大前置假設，代理當成已證。團隊刪掉建在那些假設上的數萬行，重開一部分。signalizer functor theorem 是例子：候選證明依賴還沒證的結構假設，條件證明仍有用，但里程碑不算完成。

10 月 2 日第一批代理群上線後，認領里程碑走 GitHub issues，做完在 Slack 回報。官方沒有把模型名單寫進部落格。Lead 代理拆論證、審陳述；搜尋代理找既有結果；寫證明的代理產出 Lean。人類數學家處理「這條假設是延後工作，還是改了定理意義」這類判斷。工程師負責讓愈來愈大的倉庫還編譯得動。

10 月 13 日整天只關了一個里程碑。工程師另開一輪重規劃，要代理把未完成里程碑拆成陳述精確的小定理，並且用一小段 Lean 說明這些小定理加上既有結果如何推出原里程碑。倉庫長大之後，代理產證明的速度超過 Lean 重核的速度；改一個共用結果會強迫重核所有依賴。工程師做了跨 worker 的建置快取，把昂貴的有限計算外送到可另核的憑證，驗證快了幾個數量級。同一個定義被許多代理同時改寫時，還得保持相容，否則後面的定理會接錯物件。形式化還吃進 Qiuzhen-CFSG 大約 120 萬行，並建在數百人維護的 Mathlib 上。核心貢獻者寫的是 Dean Cureton、Vasily Ilin、Bhavik Mehta、Niels Voss；Letong Hong 掛首席研究員。

TauCeti 專案裡的分類陳述，翻譯過來是：每個有限單群都同構於分類清單上某個明確構造出來的群。README 寫，lake build 會檢查整份發展。

機器抓到什麼

把每條依賴都丟進 Lean，會逼出文獻裡人眼會補上的縫。Axiom 說多數報告最後是無害的：錯字、表格錯、漏掉的假設、從上下文看得出來的步驟。少數要真的數學。公司說會把這份勘誤清單公開，顧問委員會包括做過分類的 Richard Lyons 與 Ronald Solomon。清單本身，發布時還沒逐條放上網。

一個例子來自 Aschbacher 與 Smith 的 quasithin 卷。一條引理主張兩個數值量相等。代理找到反例，群是 SL₂(5)：一邊是 1，等式卻要求 2。改成不等式就修好引理，可是後面有些論證用過「相等」來排除情況，那些情況現在得另處理。團隊把前面一個論證加寬，再把後面的論證只用在那些構形不出現的地方。

最大的繞路是 Unbalanced Group Theorem（UGT）。Axiom 走 John Walter 1986 年的 memoir，因為要跟第一代證明對上。代理找到閉包主張的明確反例：從 Walter 家族裡的 PSL₂(49) 出發，它的體對合（由 49 元體的二階對稱誘導的自同構）中心化子是 PGL₂(7)，其單群成分是 PSL₂(7)；後者因為 7 是梅森質數，被排除在那個家族之外。這裡的對合是 PSL₂(49) 的自同構，不是那個單群裡的元素。反例沒有推翻 UGT 本身，也沒有推翻 Walter Proposition II.5.9(ii) 的結論，只是讓那一步推論沒有依據。

換第二代結果來推 UGT，紙上可能是短推導，底下卻是一大坨額外形式化。Axiom 找 Lyons、Solomon 商量。Solomon 1976 年的 maximal 2-components 理論，提供了 AxiomProver 後來寫出並形式化的替代論證核心。伴隨論文把關鍵步驟寫成 Theorem 2.3，「Preservation of simple tops」（單群頂的保持）。Axiom 的數學家事後又在第一代方法裡找到捷徑，寫在 Remark 9.5，不必靠 Theorem 2.3 也能到需要的 UGT 結論。論文兩條都留：長的那條是代理實際形式化的路，也多證了一條保持定理。

這和近期那些「AI 證了題」差在哪

過去兩個月，OpenAI 把機器可檢查的數學證明做成新聞主軸。Astra 十項結果 全部附 Lean 證書；後來 722 篇手稿 裡，Lean 核過主結果的是 162 篇，其餘約 560 篇官方自己寫「可能有問題」。八月已有數學家指出，Lean 證過每一句的 Connes 剛性「反證」，有可能證的不是原猜想。昨天 OpenAI 又丟出 ETH 被判假、Kakeya 全維、QCD 存在證明先不公開 三條線，原提出人帶隊核對。

Axiom 這次不是「模型發現新猜想」。官方把功勞寫給發現那些群、寫出那些論證的一百多數學家，從 Galois、Jordan 算起。公司說自己做的是：讓證明機械可核、把路上撞到的障礙記下來、補上形式化的替代論證。代理混用的模型名單沒公布，也沒有 API 價格、Token 用量或單次任務成本。Neural Brew 寫：Axiom 在 X 上的宣布落在巴黎時間 10 月 27 日下午 3:34，部落格日期是 10 月 26 日。

同一輪數學新聞裡，Anthropic 也把自己對 ETH 的反駁證明放到 GitHub，說內部 Claude 模型 10 月 16 日用大約 1,400 萬 token 找到關鍵算法；MIT 的 Ryan Williams 幫看 OpenAI 那份時，說有「兩三處長得很外星」。那些證明，外部專家都還沒核完。Axiom 的 CFSG 形式化，卡在另一個位置：它宣稱核完的是一份已知、分散在五千百頁裡的舊定理，不是一條新猜想。

還沒被獨立做完的兩件事

第一件是重編譯。Neural Brew 寫明：倉庫在線上，但他們沒有自己驗證整份證明能完整重編譯，也沒有核對最終陳述是否精確等於意圖中的定理。Axiom 自己也把這條界線寫進正文：人要檢查最終定理和它用的定義，確確實實在講分類；Lean 檢查的是推出它的形式推導。一份形式化有沒有逐步重現某個歷史論證，是另一個問題。UGT 換路，正好說明形式化可以走到同一個數學結論，卻不走同一條文獻路徑。

第二件是勘誤清單與語義對齊。34 處「值得記的偏離」目前只有公司描述，沒有公開的逐條對照表。最重的那條已經有伴隨論文和具體反例；其餘多數被寫成錯字與漏假設，外界還看不到。Mathlib 與 Qiuzhen-CFSG 的 120 萬行是既有基礎，不是這 24 天從零寫出來的。

代理混用哪些大型語言模型，官方沒點名。也沒有 API 價格、單次任務成本、或「這 24 天燒掉多少 token」的表。能核的是產物：倉庫、證明地圖、UGT 論文、以及最終定理的 Lean 陳述。不能核的是搜尋過程——哪一顆代理在哪一個里程碑走錯、哪一次人類把數萬行刪掉，頻道紀錄沒有完整公開。

文獻格式公司也給了。@misc{axiom-cfsg} 作者列 Cureton、Ilin、Mehta、Voss 打頭，後面一長串數學與工程貢獻者，標題 Lean formalization of the classification of finite simple groups，指向 github.com/AxiomMath/CFSG，並註明互動證明地圖在 cfsg.axiommath.ai。地圖把 139 件源作品畫成區塊，面積按它提供的陳述數量。這是給群論學者用的索引，不是給一般讀者的導覽。

若要自己核，公開入口就是這三樣：GitHub 倉庫、線上證明地圖、UGT 論文。能觀察的下一動很具體：有沒有第三方寫出完整 lake build 紀錄、勘誤清單何時上線、Theorem 2.3 會不會被群論期刊當成新結果收進去。編譯器會先給第一輪；數學社群收不收「這份形式化等於那條分類」，要另算一筆時間。