特徵值與特徵向量

特徵值與特徵向量（Eigenvalues and Eigenvectors）是線性代數的核心概念，描述矩陣變換中保持方向不變的向量和相應的縮放因子。

定義：

對於方陣A，如果存在非零向量v和標量λ使得：

A × v = λ × v

則v是特徵向量，λ是對應的特徵值。

幾何意義：

• 特徵向量：矩陣變換後方向不變（或反向）的向量
• 特徵值：該方向上的縮放因子
• 正特徵值：方向不變，長度縮放
• 負特徵值：方向反轉，長度縮放

應用場景：

• 主成分分析：主成分分析，數據降維和特徵提取
• PageRank：Google搜尋排名的核心算法
• 振動分析：物理系統的固有頻率
• 圖像壓縮：特徵臉（Eigenface）人臉識別
• 穩定性分析：動態系統的穩定性判斷
• 聚類 (Spectral Clustering)：譜聚類算法

計算方法：

• 特徵多項式：det(A - λI) = 0
• 冪迭代法：求最大特徵值
• QR算法：求所有特徵值
• 現代庫：NumPy、MATLAB內建函數

與奇異值分解 (SVD)的關係：奇異值分解是特徵分解的推廣，適用於非方陣。

特徵分解揭示了矩陣變換的本質結構。